فایلها و مقالات دانشجویی

بررسی حل مسایل مقدار اولیه-مرزی دستگاه معادلات دیفرانسیل جزئی مرتبه بالا غیرخطی بوسیله شبكه های عصبی مصنوعی پیشخور

مقاله چند بعدی

حل مسایل مقدار اولیه- مرزی دستگاه معادلات دیفرانسیل جزئی مرتبه بالا غیر خطی بوسیله شبكه های عصبی مصنوعی پیشخور.

چكیده

در این مقاله روش جدید عمومی برای حل علمی مسایل مقدار اولیه- مرزی دستگاه معادلات جزئی بخصوص مراتب بالا و غیرخطی در یك ابرمكعب سیلندری ارائه می شود. این روش یك روش مش- فری بوده و جدایی بفرم بسته تحلیلی تولید میكند. تركیبی از مفاهیم شبكه های عصبی مصنوعی و ابزارهای بهینه سازی چند بعدی در این روش بكار میرود. بوسیله مفاهیم تقریب توابع چندمتغیر، وابسته به مباحث شبكه های عصبی مصنوعی پیشخوار و نیز بكمك هم محلی در نقاطی مشخص، حل مسئله مقدار اولیه- مرزی به مسئله بهینه سازی نامتغیر یك تابع انرژی تبدیل میگردد. بعبارت دقیقتر یك جواب آزمون عصبی برای مسئله مقدار اولیه- مرزی متشكل از مجموع دو قسمت در نظر میگریم: قسمت اول در شرایط اولیه- مرزی (زمانی- فضایی) صدق میكند، درحالیكه قسمت دوم شامل متغیرهای لازم برای مینیمم سازی تابع خطای مسئله میباشد و بكمك یك شبكه عصبی سه لایه و پیشخور شبیه سازی گشته و برای صدق در دستگاه معادلات دیفرانسیل مسئله آموزش میبیند. این روش را میتوان بعنوان تعمیمی مناسب از روشهای معینی در نظر گرفت. كاربرد این روش جدید صرفنظر از نوع شرایط اولیه- مرزی در دامنه ای از یك معادله دیفرانسیل معمولی تا دستگاهی از معادلات دیفرانسیل جزئی متغیر است.

1.مقدمه:

در علوم مهندسی اغلب سیستمهای دنیای واقعی كه با معادلات دیفرانسیل توصیف شده اند، شامل چندین شرط اولیه یا مرزی وابسته به شرایط فیزیكی مسئله نیز میباشند. مهمترین شاخص در مورد هر مسئله مقدار اولیه- مرزی برای یك دستگاه معادلات دیفرانسیل جزئی عبارتست از خوش‌خیمی آن یعنی وجود و یكتایی جواب مسئله بسته بنوع معادلات و نیز نوع شرایط اولیه- مرزی قابل بحث است. مانند سایر مسایل روشهای زیادی هر چند مشكل، برای حل غیرتحلیلی چنین مسایلی وجود دارد از قبیل روشهای جداسازی متغیرها، تبدیلات انتگرالی، تغییر مختصات، تغییر متغییر وابسته، معادلات انتگرال و . . . ارزش این روشها زمانی مشخص تر میشود كه برای مسایلی بكار بروند كه جواب تحلیلی نداشته یا جواب تحلیلی‌شان مستقیما قابل محاسبه نباشد. این ارزش در صورت توانایی بكارگیری روش برای دستگاه معادلات دیفرانسیل جزئی (وابسته بزمان) از مراتب بالا و غیرخطی، دوچندان میشود.

در ریاضیات كاربردی عبارتند از همگرایی، پایدار علمی، سازگاری و خوشحالی عددی آنها. سه دسته مجزا برای این روشهای حل غیرتحلیلی میتوان در نظر گرفت: روشهای تغییراتی، روشهای بسطی و روشهای علمی. در روشهای تغییراتی معادلات دیفرانسیل مسئله را بهمراه شرایط اولیه- مرزی آن بیك مسئله مینیمم سازی تابعكی مناسب در یك فضای تابعی تبدیل كرده و با حل این مسئله بهینه سازی جواب مسئله اصلی را بدست میاوریم. مهمترین مشكل چنین روشهایی تعریف مناسب تابعكهای مورد نیاز میباشد.

در روشهای بسطی (طیفی و شبه طیفی) مانند روشهای هم محلی و گالركین یا روشهای سری فوریه، سری وزنوله متناهی جواب تقریبی مسئله را بكمك یك دسته از توابع پایه ای (چندجمله ایهای متعامد) در نظر گرفته و با تحویل مسئله اصلی بیك دستگاه معادلات (خطی) ضرایب مجهول سری مذكور را بدست میاوریم مهمترین مشكلات این روشها نحوه انتخاب توابع پایه ای و چگونگی محاسبه ضرایب مجهول، میباشد.

نداشته یا جواب تحلیلی شان بسادگی قابل محاسبه نیست.

مهمترین كاربرد پرسپترونهای چند لایه كه باعث تحولی عظیم در تاریچه شبكه های عصبی مصنوعی شد، عبارتست از قابلیت تقریب زدن توابع چند متغیره حقیقی آنهم بصورت سراسری و بفرم بسته تحلیلی بعبارت دیگر چنین شبكه هایی شرط وجود تعداد كافی از عصبها، لایه ها و تعادلات بین اعصاب و وجود تابع تحریك زیگموئید (تعمیم یافته) در لایه های میانی، تقریب زننده های جهانی اند. یعنی می توانند برای تقریب زدن هر تابع اندازه پذیر بوری تعریف شده روی یك ابرمكعب (هرقدر كه پیچیده باشد) با هر دقتی آموزش داده شوند. البته باید توجه داشت كه طبق غیرخطی بودن حداقل شرط برای توابع تحریك لایه های میانی میباشد.

همچنین بطوركلی تعداد لایه های میانی در معماری پرسپترون لازم نموده و تنها یك لایه پنهان كافیست و دقت تقریب وابسته به تعداد اعصاب در لایه میانی شبكه میباشد، نه تعداد لایه های پنهان، البته باید دانست كه بكارگیری تعداد لایه های میانی بیشتر میتواند منجر به استفاده از تعداد كمتری عصب در كل شبكه شود. در مورد تعداد اعصاب در كل شبكه نیز قضیه وجودی كولموگروف وجود دارد كه نتیجه میدهد میتوان مقادیر هر تابع پیوسته متغییر، تعریف شده یك ابرمكعب تنها توسط حاصلجمع های خطی و توابع غیرخطی پیوسته و اكیداً صعودی یك متغیره، محاسبه نمود. براساس این قضیه یك پرسپترون سه لایه شامل عصب با استفاده از توابع غیرخطی پیوسته و اكیداً صعودی میتواند هر تابع پیوسته متغیره را محاسبه نماید. باید توجه داشت. كه این قضیه در مورد ضابطه توابع یك متغیرة مورد نیاز مسكوتت. در مورد كران خطای تحمیلی كه با فیكس كردن ضابطه توابع تحریك، عارض میشود نیز قضیه ساختاری سای بنكو وجود دارد كه براساس آن میتوان دقت تقریب تابع بوسیله شبكه عصبی را كنترل نمود. از لحاظ تاریخی قضیه صعودی انطباق كولموگروف بیان میدارد كه به ازای هر تابع پیوسته، توابع و ثوابت وجود دارند بقسمیكه.